方べき定理

娘が学校で方べき定理というのをやったらしい。
名前を聞いてもなんのことかわからなかった。
全然記憶にない。もしかして勉強してない？
webで検索すると大量にヒットした。
おかしいなぁ・・・幾何の定理はいっぱいあるから、忘れちゃっただけかな？
しかし、かけらも覚えていないのはなぜ？
私の高校のころには幾何は軽視されてた気がするからそれが原因かもしれない。
どういう定理かっていうと
言葉だけで説明するのは難しいのでちょっと絵を入れる。

円に交差する二本の直線の交点をAとして、AB×AC＝AD×AE　であるということらしい。
当然娘は幾何的な証明を習ったらしい
幾何的には、三角形を作って、相似なりなんなりを使ってやることになるだろうというのは想像できる。
で、代数的な解法を考えてみた。
上の図を以下の様に書き直す。

この図で原点Oを上の図の点Aと見て、中心(p,q)半径rの円を描いた物
つまり方べき定理とは、(p,q)が半径S、中心Oの上を動くとき、X軸との交点のx座標が二つあるとき
その二つの座標の積が一定であるということを表している事になる。
そこで、中心(ｐ、ｑ）半径rの円の方程式は
(x-p)²+(y-q)²=r²なので
この方程式とＸ軸との交点の座標を求める。
Ｘ軸であるからｙは０なので
(x-p)²+(-q)²=r²
となる。
これを展開すると
x²-2xp+p²+q²-r²=0
この方程式の解を、l,mとすると方程式と解の関係から
ｌ×m=p²+q²-r²
ここで、p,qは半径ｓの円上を動くから、p²+q²=s²なので
l×m=s²-r²=(s-r)(s+r)
ｒ、ｓは定数なので、l×mは定数。
以上より、任意のp,q（円がx軸と交差する範囲）においてこの積は一定
よって定理は成立する。
ってことで、証明終わりなのだが
さて、この説明を娘は理解できるだろうか？
まず、最初の図から、次の図への置き換えが難しいだろう。
これはかなり慣れを必要とする。
その上で、定理の意味を数式で置き換えてそれを計算する。
計算自体は二次方程式の解の公式だけなので、公式を使えば一瞬で出てくるから特に難しいことは無い。
定理の意味を別の表現、モデルに置き換えて理解する、証明するということが数学の肝なんだが、その辺が理解できるかというところが難しいだろうなぁ
さて、娘を捕まえてこの証明を説明してみよう。
理解できたら上出来だ